LA DERIVADA

DEFINICION DE DERIVADA

La derivada es el limite del concistente del incremento de la variable, dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lím ^x-o= ^y/^x.

Las notaciones mas comunes para indicar la operaciones deriva de una funcion con respecto a "x" son las siguientes:

Notacion de lagrange: y´ o f´(x)

Notacion de cauchy: Dxy o Dx F(x)
Notacion de leibniz: dy/dx o df(x)/dx

HALLAR LA DERIVADA

Para hallar la derivada se procede a resolver la razon de cambio promedo y posteriormente se obtiene el limite de dicha razon cuando el incremento de "x" tiene cero.

INCREMENTOS EN LA DERIVADA

Si una variable cambia de valor a otro, a la diferencia de los valores sele llama incremento en la variable x.

De manera similar, se denomina incremento en la variable "y" o incremento en la funcion al aumento o disminucion que experimenta la variable "y"

Dada una seccion de la grafica de una funcion, considera dos puntos P1 y P2 y sus coordenadas.

REGLAS BASICAS

1.- Para una contante "a"

si f(x)= a, su derivad es f´(x)=0

ejemplo: si f(x)=16, su derivada es f´(x)=0

2.-para la funcion identidad f(x) =x

si f(x) = x, su derivada es f´(x)= x

ejemplo: si f(x)= x, su derivada es f´(x)=1

3.- Para una constante "a" por una variable "x"

si f(x) = ax, su derivada es f´(x)=a

ejemplo: si f(x)=7x, su derivada es f´(x)=7

4.- Para un a variable "x" elevada a un apotencia "n"

si f(x) = xn, su derivada es f´(x) = nxn-1

ejemplo: si f(x) = x3, su derivada es f´(x) = 3x2

5.- Para una constante "a" por un avariable "x" elevada a una potencia "n"

si f(x) = axn, su derivada es f´(x) = anxn-1

ejemplo: si f(x) = 4x2, su derivada es f´(x) = 8x

6.-Para una suma de funciones:

si f(x) = u (x) + v (x), su derivada es f´(x) = u´(x) + v´(x)

ejemplo: si f(x) = 3x2 + 4x, su derivada es f´(x) = 6x + 4

7.- Regla de producto

esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la multiplicacion de polinomios, como por ejemplo: f(X) = (2x3+3) (3x4-5); la regla de producto es:

si "u" y "v" son los polinomios:

la funcion: f(x) = uv

su derivada: f´(x) = u´v + uv´

8.-Regla del cociente

Esta regla es util cuando se tiene una funcion forada de la divicion de polinomios, como por ejemplo: f(x) = 2x3+3/3x4-5; la regla de cociente es:

si "u" y "v" son los polnimios

la funcion : f(x) = u/v

su derivada : F´(x) = u´v- uv´/ V2

9.-Regla de cadena

Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada por un polinomio elevado a una potencia.

si "u" es el polinomio

la funcion: f(x) = un

su derivada es: f´(x) = n(u)n-1(u´)

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

cuando la primer derivada dy/dx es una funcion derivable sepuede calcular su derivada a esta nueva derivada se le llama segunda derivada de la funcion original.

sila segunda derivada es una funcion derivable tambien s puede obtener su derivada a esta otra derivada se le llama tercer derivada de la funcion

la notacion comun utilizada para las derivadas de orden superior es la siguiente:

primer derivada dy/dx = f´(x) = y´

segunda derivada d2y/dx2 = f´´(x) = y´´

tercer derivada d3y/dx3f´´´(x) = y´´´

cuatra derivada d4y/dx4 = f(4)(x) = y(4)

enesima derivada dny/dxn = f(n) = y(n)

LINEA TANGENTE

La linea tangente es la recta que toca un punto de la curva y el punto en comun etre la tangente y la curva es el punto de tangencia.



Para determinar tangente la ecuacion de una recta, conocida la pendiente y el punto de la misma, se emplea la forma punto pendiente:y-y1=m(x-x1)



Para determinar la linea tangente sigue estos pasos:



1.-Definir las coordenadas de punto de tangencia en el valor x! dado.

2.- Calcular la pendiente empleando la derivada, ya que m!= f(X)

3.- determinar la ecuacion de la tangente utilizando la forma punto-pendiente y-y1=m(x-x1)

Otra de las lineas asociadas a una curva es llamada recta normal. la recta a una curva en un punto de tangencia dado, es una curva perpendicular a la tangente en dicho punto .

pasos a seguir para determinar la ecuacion de la recta normal:

1.- definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor x! dado.

2.- calcular la pendiente empleando m! = -1/f(x!)

3.- determinar la ecuacion de la recta normal utilizando la forma punto-pendiente: y-y1 = m!(x-x!)

PUNTO CRÏTICO

El punto critico, tambien llamado valor critico, es aquel punto de domino de la funcion diferenciable en ese punto, en donde la prier derivada es igual a cero o bien la derivada no existe.

Dado que el valor de la pendiente de una tangente evalua en un punto dado de una curva es igual al valor de la derivada evaluada en dicho punto, si es el punto critico el valor de la primer derivada es igual a cero, entonces el valor de la primer derivada es igual al valor de la pendiente de una linea tangente horizontal. En este caso, en el punto critico está el punto tangencial de una recta horizontal de una recta horizontal, pues toda la linea horizontal tiene pendiente igual a cero. En una parabola de una función cuadrática, el punto crítico, se localiza en su vertice.

para localizar la coordenada "x" del punto crítico se determina la primera derivada, es igual a cero y se resuelve.

algunas funciones tienen 2 o mas puntos criticos. por ejemplo f(x)= X3-3x, tiene dos puntos criticos, en x=1 y en x= -1, como lo muestra en la imagen de arriva.

si hay dudas pueden codultar este video http://www.youtube.com/watch?v=xS9BcJ9V8zc

http://www.youtube.com/watch?v=L4GTWRO1DmM&feature=related