LA DERIVADA

DEFINICION DE DERIVADA

La derivada es el limite del concistente del incremento de la variable, dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lím ^x-o= ^y/^x.

Las notaciones mas comunes para indicar la operaciones deriva de una funcion con respecto a "x" son las siguientes:

Notacion de lagrange: y´ o f´(x)

Notacion de cauchy: Dxy o Dx F(x)
Notacion de leibniz: dy/dx o df(x)/dx

HALLAR LA DERIVADA

Para hallar la derivada se procede a resolver la razon de cambio promedo y posteriormente se obtiene el limite de dicha razon cuando el incremento de "x" tiene cero.

INCREMENTOS EN LA DERIVADA

Si una variable cambia de valor a otro, a la diferencia de los valores sele llama incremento en la variable x.

De manera similar, se denomina incremento en la variable "y" o incremento en la funcion al aumento o disminucion que experimenta la variable "y"

Dada una seccion de la grafica de una funcion, considera dos puntos P1 y P2 y sus coordenadas.

REGLAS BASICAS

1.- Para una contante "a"

si f(x)= a, su derivad es f´(x)=0

ejemplo: si f(x)=16, su derivada es f´(x)=0

2.-para la funcion identidad f(x) =x

si f(x) = x, su derivada es f´(x)= x

ejemplo: si f(x)= x, su derivada es f´(x)=1

3.- Para una constante "a" por una variable "x"

si f(x) = ax, su derivada es f´(x)=a

ejemplo: si f(x)=7x, su derivada es f´(x)=7

4.- Para un a variable "x" elevada a un apotencia "n"

si f(x) = xn, su derivada es f´(x) = nxn-1

ejemplo: si f(x) = x3, su derivada es f´(x) = 3x2

5.- Para una constante "a" por un avariable "x" elevada a una potencia "n"

si f(x) = axn, su derivada es f´(x) = anxn-1

ejemplo: si f(x) = 4x2, su derivada es f´(x) = 8x

6.-Para una suma de funciones:

si f(x) = u (x) + v (x), su derivada es f´(x) = u´(x) + v´(x)

ejemplo: si f(x) = 3x2 + 4x, su derivada es f´(x) = 6x + 4

7.- Regla de producto

esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la multiplicacion de polinomios, como por ejemplo: f(X) = (2x3+3) (3x4-5); la regla de producto es:

si "u" y "v" son los polinomios:

la funcion: f(x) = uv

su derivada: f´(x) = u´v + uv´

8.-Regla del cociente

Esta regla es util cuando se tiene una funcion forada de la divicion de polinomios, como por ejemplo: f(x) = 2x3+3/3x4-5; la regla de cociente es:

si "u" y "v" son los polnimios

la funcion : f(x) = u/v

su derivada : F´(x) = u´v- uv´/ V2

9.-Regla de cadena

Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada por un polinomio elevado a una potencia.

si "u" es el polinomio

la funcion: f(x) = un

su derivada es: f´(x) = n(u)n-1(u´)

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

cuando la primer derivada dy/dx es una funcion derivable sepuede calcular su derivada a esta nueva derivada se le llama segunda derivada de la funcion original.

sila segunda derivada es una funcion derivable tambien s puede obtener su derivada a esta otra derivada se le llama tercer derivada de la funcion

la notacion comun utilizada para las derivadas de orden superior es la siguiente:

primer derivada dy/dx = f´(x) = y´

segunda derivada d2y/dx2 = f´´(x) = y´´

tercer derivada d3y/dx3f´´´(x) = y´´´

cuatra derivada d4y/dx4 = f(4)(x) = y(4)

enesima derivada dny/dxn = f(n) = y(n)